La experiencia histórica de las matemáticas

1. ¿Cómo concebir la experiencia histórica?

En particular la que prodiga la historia de las matemáticas. Un primer indicio es que consiste de «archivos». Buscar los textos del pasado en los que pervive el vestigio de un momento de la historia es una inmersión en un depósito. Una vez localizados los textos se deben leer, o «interpretar». Ocurre aquí una curiosa situación, pues el punto de vista del presente proyecta al pasado la «estructura matemática unificante», esa perspectiva anamórfica sobre las figuras pretéritas que les otorga un sentido que, en principio, les es ajeno. Son dos pasos que determinan, de manera casi insensible, como un «a priori», lo que se ha de considerar y cómo, en la historia de las matemáticas. Por un lado, la organización del archivo, los criterios que fijaron lo que en estos se encuentra, y, por otro, el «presentismo», la casi irresistible tentación de leer los documentos como ejemplos de las preocupaciones del presente. Incluso de los métodos en boga.

Hay otra curiosa actitud del matemático ante su propia historia: la ignora y se enorgullece de ello. Esta posición, sin embargo, no lo salva, pues un libro de texto es un archivo, resultado de una selección con criterios nunca claros o explícitos. Una de las mejores declaraciones al respecto se hace en el prólogo a la segunda edición de Goldstein (1980): «No se hace mención alguna de variedades o difeomorfismos, de haces fibrados tangentes o toros invariantes. Existen algunas áreas altamente especializadas de la mecánica clásica donde las poderosas herramientas del análisis global y la topología diferencial son útiles, quizá esenciales. Sin embargo, no es claro para mí la manera en la que contribuyen a la comprensión de la física de la mecánica clásica al nivel buscado en esta edición». El criterio es la «claridad» para uno mismo, o tal vez la capacidad personal de comprender algo distinto a lo archivado en una bibliografía. De modo que quien omite la historia de cualquier manera es expuesto a una, con la pretensión de ser lo más acabado, lo último, junto un ignoto criterio de lectura e interpretación que puede ser falso. Después de todo Fraser (2023) alegó que Goldstein integró de manera incoherente la mecánica clásica. Esa es la experiencia histórica común: una que no sabe que lo es. Ya nadie recuerda que el lenguaje de los textos de análisis de la segunda mitad del siglo XX impuso, de manera definitiva, el estilo Russell-Cantor de hablar desde la base axiomática de la teoría de conjuntos. Con un éxito tal que se puede preguntar con seriedad: ¿qué aportó Russell a las matemáticas?

En este texto se plantea una manera diferente de concebir la experiencia histórica de las matemáticas. No ya una inconciencia, ni siquiera una apropiación en el sentido kantiano de la filosofía teleológica de la historia, o una nostalgia sino la mera contingencia del devenir.

2. Una «historia filosófica»

Es una que plantea una teleología o «desarrollo interno» del proceso histórico. Como ese cuento que contó Kant en su «Idea de una historia en sentido cosmopolita» y que es muy simple reproducir como filosofía de las matemáticas. Para esto se postula un proceso irresistible: el incremento constante del rigor que conlleva la sucesiva mejora de la demostración a lo largo de un devenir histórico comprensible de suyo mediante esta premisa. Por ende, en la filosofía matemática se tiene fe en que cada demostración está labrada en la eternidad, aunque a veces puede haber tropiezos que se salvan mediante incrementos del rigor en la demostración. Y «rigor» es muchas cosas, desde un hacer claras todas las premisas, desambiguar los conceptos, imponer sistemas axiomáticos y concebir la matemática toda como un ahistórico sistema recursivo constituido a partir de puntos de partida «claros y distintos». Esto es, sin embargo, el punto de vista del siglo XX, que le otorga unidad y comprensibilidad a la matemática tal como se practicó en ese tiempo. Los objetos matemáticos típicos introducidos fueron «estructuras matemáticas», que se pueden concebir como un cierto conjunto de símbolos, junto a las operaciones con las que se combinan (dominios de integridad, campos vectoriales), para a partir de estos establecer clases de transformaciones. Y en una elevación más de abstracción se construyen «categorías», que son, también, estructuras matemáticas, pero de otro orden lógico. El proceder es «unificante» porque toda cosa matemática ha de caber en sus operaciones, y permite la organización de las matemáticas como totalidad regular, es decir, en la que todo es demostrable por los métodos introducidos, que pese a su enorme variedad responden a una única concepción de rigor y demostrabilidad. Esto es lo que permite concebir que en un determinado periodo histórico existe algo así como un marco común para el trabajo del matemático. Y este es reproducido en toda revista y universidad, por lo que una carrera en esta disciplina se hace desde esos presupuestos.

3. La «pauta que conecta»

A ese marco común se le puede denominar «la pauta que conecta», por usar mal una idea de Bateson, pues es lo que permite establecer que, tras cada resultado matemático encontrado en las mejores revistas, subyace un punto de vista único. Esto es la «experiencia del presente», en sí misma una experiencia histórica. Desde ésta el matemático que publica y se une a la gran «pauta que conecta» puede imaginar que sus resultados son duraderos, rayanos en la eternidad, inatacables y profundos. Como ya se mencionó, la experiencia histórica que aquí se propone es la de la contingencia del presente, es decir, el presentimiento, casi siniestro, que esos resultados con los que se logró el doctorado y la publicación en la «Inventiones Mathematicae» son cuestionables. Foucault (1966) daba de esto una descripción dramática y un nombre evocador: la discontinuidad histórica. Pero va de suyo en las filosofías teleológicas de la matemática que la rigurosidad es contingente, pues es creciente. Aunque se suele tener la certeza que es en el presente donde esa procesión, ya cansada, llega a su fin. Siempre se está a un paso del «saber absoluto». Esto significa, también, que no sería raro lanzar preguntas a los resultados del pasado desde la atalaya del presente. Cuestionar los resultados de una matemática periclitada desde las urgencias del hoy porque, con toda seguridad, las demostraciones son equivocadas. Sin embargo, no se hace. ¿Preguntará alguien si el teorema de Pitágoras está bien demostrado? ¿las figuras de cuadrados encimados sobre un triángulo no son una plena y rigurosa demostración? ¿Los diagramas con los que se demuestra el teorema del coseno no constituyen evidencia inatacable? No, pero sin duda la demostración se puede hacer con los parámetros necesarios de rigor, pues el teorema de Pitágoras, tanto como la compacidad del operador de Schrödinger para potenciales singulares, entran dentro de la «pauta que conecta».

Esa pauta tiene una forma particular para la presentación de resultados. Se otorgó preferencia a la enunciación del teorema y su demostración, como para dar la apariencia de «estar en la presencia constante de un súper hombre», pero las tendencias pedagógicas y la ambigüedad de nuestros tiempos determinaron que eso no tenía relevancia política en una sociedad cada vez más politizada desde los populismos de izquierda y derecha. Es necesario que el pueblo entienda, aunque no quiera. Se propone entonces añadir algo a esa presentación. Mostrar que resuelve problemas prácticos, que sirven de algo para aliviar los problemas, reales o inventados, de las «democracias occidentales». Aparece entonces la pedagogía y se reiteran las pseudodemostraciones del pasado como «situaciones didácticas» en las que, desde ambientes empíricos, visualizables, se construye un modelo de las elevadas abstracciones.

En la siguiente sección se presentan varios problemas, se resuelven y se enuncian sus resultados como teoremas, para ilustrar cuál es el método de construcción típica del resultado matemático.

4. La integral elíptica y la transformación de Landen

Considérese la integral elíptica, incompleta, de primera clase, de Legendre, en la forma:

Donde \(k\) es el módulo \((0 < k^2 < 1)\), \(x\) la amplitud \(\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)\). Entonces, bajo la transformación de módulos:

las integrales elípticas se transforman de la siguiente manera:

Que se nombra «transformación de Landen».

Problema: ¿Es la transformación de Landen una transformación canónica?

La transformación de Landen la trató Lagrange en diferentes oportunidades. Una manera difícil de presentar el asunto es Lagrange (1766), otra Lagrange (1774). Las coordenadas cartesianas aparecen en ambos artículos y se considera que las integrales elípticas son cuestiones de la teoría de las ecuaciones diferenciales separables. La fórmula se establece en Lagrange (1784) mediante sustituciones. Dentro de esa época histórica la pregunta no se puede formular pues no existen las estructuras matemáticas dentro de las que tiene sentido. Esta operación, la de inquirir por la manera en la que se imbrican resultados del pasado en teorías posteriores, es la «pauta que conecta» en acción. Bateson (1979), para introducir ese concepto, cuestiona: «¿qué pauta conecta al cangrejo con la langosta y a la orquídea con el narciso y a los cuatro conmigo?». La diferencia entre las pautas que subyacen a los objetos matemáticos y a los naturales es que aquellas son inventadas. Mientras que las otras se «abducen». Al menos para Bateson la abducción es una tercera vía respecto de la deducción y la inducción porque permite establecer lo que une las cosas a partir de ciertos hechos empíricos. La presencia de una simetría en la anatomía de los crustáceos y los mamíferos indica un patrón común subyacente, y a la operación de postularlo se le denomina «abducción». En las matemáticas también se detectan patrones. Primero en la naturaleza o la experiencia humana y después en los objetos matemáticos introducidos. Se hace un cambio de «tipo lógico». Cuando se abduce que hay un patrón que conecta los movimientos de las estrellas con la caída de las manzanas se introduce una ley, a la que se le puede dar forma matemática. Esta ley es lo que unifica la experiencia, pero la construcción del conocimiento matemático acontece ahí. Ya no se reflexiona sobre los eventos naturales sino acerca de las formas matemáticas mismas. Por este medio se introducen estructuras matemáticas que normalizan o regulan la experiencia con los objetos matemáticos. Si aparece tal o cual combinación de símbolos esta ha de poder demostrarse con los parámetros de rigor vigentes. Cuestionar acerca de la naturaleza hamiltoniana, o no, de la transformación de Landen implica varias operaciones cognoscitivas casi inconscientes. Se le interpreta como «transformación» que no es lo mismo que «fórmula», por lo que se le proyecta al espacio normalizado de las matemáticas contemporáneas. Y en tanto que transformación lo ha de ser de una estructura. ¿De cuál? Es en este punto donde debe notarse la experiencia histórica. Apenas un intersticio previo a la operación de proyección. La fórmula de Landen no es transformación de ninguna estructura en el siglo XVIII. Es un resultado dentro de la teoría de las integrales elípticas, que no consistía en establecer la estructura invariante de algo, sino en construir fórmulas para aligerar los cálculos. Una teoría de integrales elípticas en el siglo XVIII conducía a tablas para evaluarlas en cada caso, como las tablas de las funciones trigonométricas, no a clases de transformaciones. Sin embargo, la filosofía de las matemáticas no sólo suele dejar de lado los problemas matemáticos concretos, sino ignorar la historia de los mismos porque, como ya se dijo, no son otra cosa que casos particulares de la gran «pauta que conecta», es decir, de la gran teoría matemática dominante.

5. La transformación de Landen es canónica

La respuesta a la cuestión del apartado previo es sí, la transformación de Landen es canónica. El interés es, de nuevo, los problemas que suscita la respuesta.

Se puede aducir un argumento «abductivo», estilo «pauta que conecta» para indicar por qué la respuesta debe ser afirmativa. Primero, se debe notar que las integrales elípticas son solución de una ecuación hamiltoniana. Segundo, la transformación de Landen relaciona dos soluciones de sendas ecuaciones hamiltonianas. Tercero, una transformación que relaciona soluciones de dos ecuaciones que tienen la misma morfología, pues son hamiltonianas, es, por definición, una simetría, pues deja invariante la forma de las ecuaciones.

Conclusión: la transformación de Landen es canónica, porque deja invariante la forma de una ecuación hamiltoniana en forma canónica.

El argumento es típicamente abductivo a la manera de Bateson (1979), pues de la observación de un «hecho matemático» se postuló la presencia de un patrón, de una estructura matemática. Mucha de la investigación en matemáticas consiste en mostrar la manera en la que tal y tal cosa es parte de una estructura. Como ya se dijo, pero se reitera para evitar las consabidas hipóstasis, las estructuras matemáticas son invenciones. El siguiente paso es «formalizar» el argumento previo, con lo que se van a descubrir sorpresas.

Por tanto, en la sección 5.1 se introduce la fórmula de Landen de acuerdo con Williamson (1927), de modo que las ecuaciones que se utilizan en 5.2 tengan un origen más o menos claro. Pero esto no será suficiente para «explicar» la transformación de Landen. Los elementos faltantes se exponen en las secciones 6, 7.

5.1. Introducción de la transformación de Landen

La introducción de la transformación de Landen se hará sin «rigor», pues será la solución de un problema. No es importante la solución en sí, sino que aparecen las integrales elípticas que se van a relacionar mediante la transformación y cuyas ecuaciones hamiltonianas será necesario escribir.

Problema: Sea dado un triángulo escaleno de lados fijos \(A, B, C\), con ángulos que se oponen a estos definidos como \(\alpha, \beta, \gamma\). ¿De qué modo varía el lado \(C\) en función de los ángulos?

Debido a que la suma de todos los ángulos ha de valer \(\pi\) rad, sólo dos quedan como variables, por lo que existe una función que correlaciona la variación de uno con el otro. El problema es encontrar esa función y la que relaciona el lado variable con los ángulos, que será sólo uno.

Una manera de resolver la cuestión es la siguiente, donde se toma el signo positivo de los radicales siempre. Debido a que uno de los lados varía, los ángulos también lo hacen, pero los otros lados no, así que si se escribe el teorema de los senos y se diferencia se obtiene la relación:

De la suma de los ángulos se puede escribir:

Que se sustituye en (1) y se logra:

Se reconocen en (3) las proyecciones de los lados \(A, B\) sobre \(C\), por ende:

Así que la variación del lado \(C\) dada por: \(C = A\cos\beta + B\cos\alpha\), solo surge debido a la variación de los ángulos. Por otro lado, debido al teorema de los cosenos:

Si se traza otro triángulo se logrará ver que:

Por lo que se arriba a la ecuación diferencial:

La solución de (7) es la respuesta al problema planteado, pues se encuentra por integración \(F(\alpha, \gamma, A, B, c) = 0\) donde \(c\) es la constante arbitraria. Si se coloca \(k = \frac{B}{A}\) se puede escribir:

La expresión \(1 + k^2 – 2k\cos\gamma\) se debe llevar a una forma igual a \(1 – k^2\sin^2\alpha\). Para esto se puede recordar que \(\cos 2\varphi = 1 – 2\sin^2\varphi\), por lo que se propone \(\gamma = 2\varphi\) para lograr la relación: \(1 + k^2 – 2k\cos\gamma = (1+k)^2 + 4k\sin^2\varphi\), donde el problema es el signo. Pero se resuelve si se coloca: \(\gamma = \pi – 2\varphi\), por lo que se obtiene: \((1+k)^2 – 4k\sin^2\varphi\), que es lo buscado. La relación (8) se escribe ahora como:

Con la notación para la integral elíptica introducida en (4), y la sustitución de módulos \(k_0 = \frac{2\sqrt{k}}{1+k}\) se obtiene la regla de transformación siguiente:

Que es la «transformación de Landen». La ecuación de los senos \(A\sin\beta = B\sin\alpha\) se transforma en: \(\sin(2\varphi+\alpha) = k\sin\alpha\). La solución del problema, en la notación típica de las funciones elípticas, es: \(\gamma = 2\,\mathrm{sn}\!\left(\frac{k+1}{2}\,\mathrm{sn}^{-1}(\alpha)\right)\), donde sn es la notación de Guderman, véase Greenhill (1959). Se puede enunciar el teorema:

Teorema 1: Dado un triángulo de aristas de longitudes \(A, B, C\) con ángulos \(\alpha, \beta, \gamma\) que se les oponen, tal que una de esas aristas varía, \(C\), y las otras están fijas, entonces la relación entre la arista \(C\) y el ángulo \(\gamma\) es:

5.2. Ecuaciones hamiltonianas cuyas soluciones son las integrales elípticas

En esta sección se escriben las ecuaciones cuyas soluciones son las integrales elípticas en forma hamiltoniana. Sean, pues, las siguientes ecuaciones diferenciales, obtenidas en la sección previa, cuya solución son las integrales elípticas:

La estructura hamiltoniana de estas ecuaciones se delata de mejor manera si se cambian a variables algebraicas. Para esto se usan las sustituciones: \(x = \sin\alpha\), \(y = \sin\varphi\) que fácilmente llevan a:

Que estas ecuaciones son hamiltonianas se demuestra de manera muy sencilla. Para la primera se escribe:

donde \(v = \frac{dy}{dt}\) y la función hamiltoniana es:

Las otras ecuaciones son:

Con \(v_0 = \frac{dx}{dt}\), y:

Se aprecia que los hamiltonianos son distintos en cuanto a los parámetros involucrados. Estos se pueden modificar en \(H\) con ayuda de la transformación de Landen, pero no es suficiente para obtener la forma de \(H_0\), para esto se debe introducir una transformación de las variables canónicas, por ende, se utiliza una transformación en el «espacio fase extendido». Entonces se debe pasar de las variables \(\langle v, x, H, t\rangle\) a las variables \(\langle v_0, y, H_0, t_0\rangle\) de modo que la transformación sea canónica. Y esta manera de pasar de un espacio fase extendido a otro será la forma hamiltoniana de la transformación de Landen. Es decir, una vez formulada la situación en un conjunto nuevo de conceptos, la transformación adquiere otra significación, pues se presenta de manera muy distinta. De acuerdo a lo anterior el primer paso es aplicar al hamiltoniano la transformación de Landen usual, dada por \(k_0^2 = \frac{4k}{(1+k)^2}\), que es birracional y cuadrática, por lo que no se suele encontrar el inverso porque presenta bivaluación. Se escribe \(H\) de la siguiente manera:

Se aplica ahora la transformación de Landen y queda:

Finalmente, tras una factorización más:

De la forma de \(H\) se infiere de inmediato una transformación para el momento canónico, y a partir de ahí las siguientes. El mapeo de Landen se completa con la siguiente transformación del espacio fase extendido:

Cuando se aplica se obtiene lo que se pide, que es el paso de las ecuaciones (4) a las (5) sin que haya variación de su forma. Esta transformación (6) es la versión hamiltoniana de la transformación de Landen. La «pauta que conecta», en este caso, la teoría hamiltoniana, permite reinterpretar, en otros términos, un resultado que parecía aislado. Un resultado de la teoría de las integrales elípticas, que queda explicado y subsumido en una teoría más general de las ecuaciones diferenciales y la manera de relacionar sus soluciones mediante simetrías.

Los problemas que suscita la versión hamiltoniana de la transformación de Landen son muchos. Uno de estos surge de la siguiente 1-forma diferencial:

Construida con ayuda de (6). Como se puede apreciar, si se toma la transformación (6) tal cual, se obtiene una «transformación homogénea de contacto» en la terminología de Eisenhart (1928). Sin embargo, se puede enfocar la transformación (6) dentro de las transformaciones canónicas generadas por un cambio de parámetro, como las que considera Tsiganov (2001), más un ingrediente adicional.

6. Reparametrización de curvas

La reparametrización de una curva \(x: \mathbf{R} \to \mathbf{R}^n\) es un mapeo dado por \(t: \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) continuo y diferenciable. Se puede dar de manera explícita o implícitamente a través de una ecuación diferencial como en el caso de la reparametrización natural en la geometría diferencial. Esta materia se puede fundar sobre la teoría hamiltoniana, pero en esta sección se limitará la discusión a obtener lo que es una reparametrización en términos de la geometría simpléctica. Expresarla en términos hamiltonianos se logra mediante una transformación en el espacio fase extendido que sea inhomogénea, con función generatriz \(S(q, p’, t, t’)\). Entonces, se escribe la condición más general dada por:

La condición (1) es la que debe cumplir un mapeo que, en forma explícita tiene por expresión:

Pero se simplifica considerablemente si lo que se quiere es una reparametrización, en la que la última ecuación de (1) se define mediante \(dt = f(t’)\,dt’\). De inmediato existe una consecuencia, que es \(H\,dt = H\,f(t’)\,dt’\), por lo tanto, el hamiltoniano transformado es: \(H(v,y,t) = \frac{H'(v’y’,t’)}{f(t’)}\) lo que indica que el mapeo (1) está dado por:

Ahora, de (1) se puede deducir que la transformación canónica inhomogénea implícita es:

Resulta fácil darse cuenta que la función generadora es la solución de un par de ecuaciones de Hamilton-Jacobi, que resultan invariantes ante la transformación (2). Se parte de \(H + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\), y se usan las transformaciones (2) de modo que queda: \(\frac{H’}{f} + \frac{\partial S}{\partial t’}\frac{dt’}{dt} = \frac{H’}{f} + \frac{\partial S}{\partial t’}\frac{1}{f’} = 0\). Como \(f \neq 0\) se obtiene el resultado. Sin embargo, la formulación implícita (3) del mapa se puede cambiar por otra en la que se puede calcular de inmediato la función generadora. Para esto se hace una transformación de Legendre de \(S\) muy simple, dada por:

Con lo que (1) se vuelve:

Y el mapeo implícito (3) es:

Con esta formulación se puede construir la teoría canónica de la reparametrización de curvas, porque de la última ecuación de (5) se sigue la condición:

Donde \(f(t)\) es la función con la que se cambia de parámetro, de \(t’\) a \(t\). Y como un cambio de parámetro afecta las variables canónicas según la regla: \(v(t) = v'(t’)\), \(y'(t’) = y(t)\) resulta que la función generadora se puede escribir:

Módulo una función del tiempo. De la ecuación tercera de (5) se puede ver que: \(H = \frac{df}{dt}H’\), por lo que \(H\,dt = H’\,df = H’\,dt’\). Por ende, se puede apreciar que la transformación de Tsiganov (2001) es una generalización de la formulación canónica al colocar una diferencial no integrable como medio de cambiar de parámetro que, a la vez, modifica las ecuaciones de Hamilton. Por lo que para Tsiganov las transformaciones canónicas se definen con la 1-forma de Cartan-Poincaré. Procedimiento típico en la geometría diferencial. Sin embargo, todo esto no es suficiente para encuadrar la transformación de Landen dentro del formalismo hamiltoniano. Se requiere un elemento más, pues la transformación canónica se induce a partir de un cambio de parámetro dentro de la función de Hamilton.

7. El grupo de renormalización

La física se suele escribir en el formato hamiltoniano cuando se trabajan sistemas con un número de partículas del orden del número de Avogadro, es decir, física estadística, donde lo importante es el cálculo de las funciones de partición, que involucran de manera crucial el hamiltoniano. Sea este \(H = H(k)\) donde \(k\) indica no las coordenadas canónicas sino los parámetros que definen el modelo particular de algún sistema físico. Por lo regular en las presentaciones de libros como Goldstein (1980) los parámetros que aparecen en el hamiltoniano no se interpretan. Son constantes, pero ¿cuál es su interpretación? Una es abstracta, pues cuando se ponen a variar lo que se hace es recorrer la clase de los sistemas físicos que describe ese hamiltoniano. Si es un péndulo, variar los parámetros es variar la longitud de la cuerda y la cantidad de masa, por ejemplo. Cuando estos parámetros varían se suele denominar «variación adiabática». Pero, cuando se transforman, la lectura cambia, pues se modifican las dimensiones del sistema. Esto resulta muy significativo en agregados con muchos grados de libertad microscópicos. Sin embargo, las explicaciones que ofrecen Wilson (1974) y otros más suponen un gran conocimiento acerca de fenómenos críticos o teoría cuántica de campos, lo que oscurece un tanto el proceso mismo. En tales áreas de investigación no es el hamiltoniano lo importante, pues es un paso hacia el cálculo de las funciones de correlación y la función de partición.

Pero se debe conocer el hamiltoniano. Una referencia que lo explica con énfasis en las rupturas conceptuales es Fisher (1998) y desde ahí se propone la explicación de la transformación de Landen. En su forma hamiltoniana 5.2-(6) la transformación de Landen está dada por:

Se puede escribir de la siguiente manera, para simplificarla y notar algo importante:

Sólo se renombra el parámetro, lo que puede causar confusión, pero una pausa para pensarlo la disolverá. Ahora, se puede escribir, también:

Por lo que, por mera sustitución se obtiene:

Esta operación se puede reiterar una y otra vez, por lo que en forma general se puede escribir la siguiente relación entre los hamiltonianos:

Esto es el resultado de aplicar \(i\) veces la transformación de Landen. En cada iteración se preserva un conjunto de ecuaciones de Hamilton. Una ecuación muy similar es la que aparece en el numeral (34) de Fisher (1998) y la considera el resultado básico de la ruptura conceptual que ejecutó Kenneth Wilson respecto al «escenario de escalamiento» (ES) de L. P. Kadanoff en particular, y en general con toda una metodología de la teoría cuántica de campos. De acuerdo a esta visión, el ES proponía que la transformación de los parámetros del hamiltoniano, dada por \(k = k(k_0)\), en la notación que se introdujo en este artículo, no cambia la forma del hamiltoniano. Lo dice así:

«En el escenario de Kadanoff…se asume que después de un ‘reescalamiento’ el hamiltoniano ‘renormalizado’…tiene forma idéntica excepto por la renormalización de un único parámetro…Esta suposición, a menos que se sea muy afortunado, ¡es el paso en falso!»

Liberarse de esa suposición es la hipótesis revolucionaria de Wilson, por lo que el hamiltoniano puede cambiar. Con esto la transformación de Landen puede explicarse, por fin. Como ya se dijo, las iteraciones de (1) no cambian el carácter canónico de la transformación, por lo que son cerradas, y también asociativas, así que forman un semigr upo. No alcanzan a formar un grupo pues son bivaluadas y carecen de inverso único. Así que las transformaciones de Landen no sólo son transformaciones canónicas, sino que también son un «grupo de renormalización», en la ambigua terminología de la física estadística.

7.1. Transformaciones de contacto

En Forsyth (1959) cap. IX, el autor nos relata una historia muy importante. Existen ciertas situaciones en las que se pretende que una cierta configuración espacial de curvas, superficies o hipersuperficies se preserve tras una transformación. Un ejemplo muy sencillo de visualizar es el contacto de dos curvas en un punto. Otro lo es el contacto de una curva en su totalidad con una superficie. La clase de transformaciones que mantienen el contacto de las figuras geométricas una vez transformadas las denomina Forsyth «transformaciones tangenciales». Indica que otro nombre es el de «transformaciones de contacto». La condición que ofrece, cuando se escribe con la notación utilizada en la sección (6) de este artículo, es:

De donde la forma implícita de la transformación resulta:

Con estas relaciones (2) la función generadora resulta:

Y (3) deviene:

Se reencuentra la transformación 5.2-(6) si \(\rho = 1+k\) y \(f(t) = \rho t\). Una vez concluida la solución del problema planteado en la sección 4 se puede enunciar un teorema:

Teorema 1: La transformación de Landen forma parte de un semigru po de transformaciones de la función de Hamilton.

Teorema 2: La transformación de Landen induce un grupo de transformaciones canónicas extendidas definidas por la relación (1) y generadas por la función (3).

Con este par de teoremas se «explica» la transformación de Landen desde el punto de vista de la «pauta que conecta», es decir, la teoría hamiltoniana. Esta es a su vez una estructura matemática, por lo que la transformación de Landen es parte de esas estructuras. Para esto se planteó un problema y se resolvió de manera sucesiva. Por ende, el conocimiento matemático de las proposiciones matemáticas consiste en, primero, definir con ayuda de los conceptos derivados de las estructuras matemáticas conocidas y, segundo, ofrecer la demostración de que tal o cual resultado es parte de esas estructuras, una vez bien encuadrado. O no. Esto implica que no basta con constatar que una proposición es verdad, pues puede serlo por mera contingencia. Es decir: se puede proponer al azar una transformación canónica y constatar que la de Landen lo es. También se puede aducir que la pregunta no tiene sentido, pues la transformación de Landen es «otra cosa» (¿qué?). Se debe conceptualizar y con esos elementos demostrar. Hay una prioridad de la demostración respecto de la verdad de una proposición en matemáticas. Esto lleva directamente a la filosofía.

8. Filosofía de las matemáticas

La proposición «La transformación de Landen es parte de un grupo de transformaciones canónicas» no podía ser formulada en el siglo XVIII, por lo que tampoco se podía preguntar acerca de su verdad. ¿Cómo se debe interpretar esta situación? Parecen posibles dos lecturas muy generales.

Por un lado, se puede afirmar que esa proposición es el resultado de una invención, la teoría hamiltoniana, que bien pudo no existir, pero existe. Dentro de esta se puede demostrar lo que se afirma en la proposición. Pero, por otro lado, también se puede considerar que la teoría hamiltoniana no se inventó, sino que se descubrió, y que los objetos abstractos que menciona existen con independencia del paso del tiempo. De modo que la proposición era verdadera antes, lo es ahora y lo será por siempre, pues los conceptos no se inventan, se «intuyen». Se puede notar que a la proposición aducida se le puede expresar de varias maneras: \(T_L \in GTC\) («la transformación de Landen \(T_L\) es elemento del grupo de transformaciones canónicas, \(GTC\)») o bien: \(F(T_L)\) («la transformación de Landen tiene la propiedad de preservar la 1-forma de Cartan-Poincaré»). La segunda expresión se parece a las del lenguaje natural, como «Juan es inteligente», por lo que se puede aducir que la semántica de la expresión matemática es similar a la del lenguaje natural, y que las condiciones de verdad de aquel se trasladan de inmediato a la proposición matemática. Por ende, \(T_L\) es un «objeto abstracto» que existe y hace verdadera la proposición \(F(T_L)\) tal como el objeto concreto «Juan» hace verdadera la proposición si es que de hecho es inteligente. Tal argumentación es muy confusa. ¿Qué es lo que existe? La transformación de Landen. ¿Qué es eso? Un objeto abstracto. ¿De dónde surge la idea que hay algo así como un «objeto abstracto»? de la forma de las proposiciones y del uso de la semántica del lenguaje natural. La transformación de Landen es una relación entre integrales elípticas. Si la referencia es hacia algo, es a esa relación. ¿En qué sentido es un «objeto abstracto»? Si se presta atención al problema que se plantea, esa relación surge de una disposición particular de elementos. Se tienen tres varillas de diferente tamaño, dos de las cuales se mantienen fijas y la tercera es variable sobre un plano. Esto significa que el ángulo que se opone a esa arista variable también modifica su valor dentro de ciertos límites. El problema es encontrar la relación entre las diferentes longitudes de la varilla y su relación con el ángulo. Por supuesto, se puede hacer de esto una investigación empírica, pues todos los elementos descritos son «objetos no abstractos», sujetos a nexos causales, que se pueden acomodar de diferentes maneras. Tales configuraciones son objetivas en el sentido que es por la forma y disposición de los objetos que tienen lugar. Sin embargo, no sólo a partir de triángulos con piezas móviles se puede obtener la transformación de Landen, sino de otras varias configuraciones geométricas, lo que indica la independencia respecto de ciertas clases de objetos. Cualquier conjunto de objetos que se acomoden de cierta manera estarán en la relación especificada por esa transformación si tienen ciertas propiedades. Por ende, esa relación no es abstracta, pues la disposición de los elementos la afecta. Si cambian, dejan de mantener esa relación. Es, de nuevo, una «pauta que conecta». Se le denomina «abstracta» porque se concibe que subsiste sin los objetos, pero de la misma manera se puede aducir que sólo existe cuando están los objetos. No es un objeto abstracto, sino la abstracción de una relación objetiva entre objetos. ¿Se concluye de aquí que, después de todo, la transformación de Landen ya era hamiltoniana desde que se introdujo? No, porque la teoría hamiltoniana es una, de entre muchas posibles, que tratan de regular las relaciones que se encuentran entre los objetos. Es decir, la relación es objetiva, las teorías matemáticas que la explican o unifican con otras son meras invenciones. Se puede desarrollar una teoría de funciones elípticas sin tener en cuenta las relaciones objetivas de las que surgieron, como meras abstracciones.

9. Conclusión

Parece bien motivado que existen grandes marcos de pensamiento, «pautas que conectan», desde los que se determina la actividad intelectual en las disciplinas académicas. Desde aquellos es posible mostrar los lazos que unen péndulos con triángulos, el movimiento a largo plazo de los planetas con la aritmética política, y el dibujo de elipses con el destino de las presas y sus cazadores. Esa capacidad de unificación es no sólo estimulante sino avasalladora. Parece un muro inatacable de verdades, resultados, demostraciones. Foucault (1966) prefería envolver en el misterio la experiencia de la contingencia histórica, ese darse cuenta, cuando se revisan los archivos del pasado, que en efecto las más luminosas certezas quedan periclitadas sin piedad. Si se vuelve sobre la fórmula de Landen se puede notar que puede concebírsele como un resultado aislado, un hecho particular en la corriente de la historia, o bien como parte de una teoría no sólo verdadera sino definitiva pues sus demostraciones lo son. En primer lugar, es muy difícil concebir esa fórmula como una singularidad, pues se utilizó un proceso de demostración para justificarla, lo que la liga a una teoría de largo alcance. Desde el segundo punto de vista, una suerte de platonismo, se elimina la contingencia porque se postula que los «objetos abstractos», como las fórmulas, no cambian, y las variaciones en las demostraciones son otras tantas instancias del error humano. La demostración correcta e inatacable está por llegar, o ya llegó. Queda, pues, el intersticio entre las grandes enunciaciones del saber matemático. Las «fallas geológicas» en la historia como experiencia de la caducidad de nuestras grandes epopeyas intelectuales.