De cómo pasar de la sensatez al delirio en la filosofía de las matemáticas

Una reseña de “Philosophy of Mathematics from Descartes to Kant” de Emily Carson

El libro de Emily Carson “Philosophy of Mathematics from Descartes to Kant” (Cambridge Elements, 2026) plantea de manera directa y en pocas páginas un debate que todavía es de actualidad. En febrero de 2007 se llevó a cabo, en la “Estación internacional de investigación Banff” ubicada en Canadá, un taller acerca de los “Métodos matemáticos de la filosofía”. ¿Cuáles son estos? Las memorias del taller aparecieron en el número 2, vol. 1, de la revista “The Review of Symbolic Logic” en 2008 y una somera revisión del índice indica que, aparte de la lógica (teoría de modelos, lógicas multivaluadas), la topología y la teoría de la probabilidad (en su versión de “teoría de la medida”) son parte del arsenal con el que se hace filosofía exacta. Cierto que el adjetivo “exacta” lo populariza Mario Bunge, pues su filosofía lo es, pero se extiende a todo hacer filosófico que utilice la matemática en su reflexión (¡y la lógica es matemática!). Los organizadores del taller referido escribieron en la introducción de las memorias: “Las matemáticas y la filosofía gozaron, históricamente, de una relación mutuamente productiva y beneficiosa, como una revisión breve del trabajo de matemáticos-filósofos como Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, Godel y Weyl confirma”.

Fuera de algunos nombres, los filósofos profesionales de los países hispanoamericanos desconocen que hayan hecho en general, pero en particular en filosofía, L. E. J. Brouwer o R. Dedekind. También es dudoso que sepan quién es Hermann Weyl. Hay mucho entusiasmo en esa frase que, por supuesto, se origina en los países anglosajones. En cambio, se puede citar una afirmación de un autor que sí es muy conocido en los países de habla hispana: “Las ciencias matemáticas de la naturaleza dan, pues, un indicio acerca de esta conexión fundamental de condiciones que hay entre la experiencia óntica y el conocimiento ontológico. Pero con esto se agota su función en la fundamentación de la metafísica”. Lo dice Heidegger en su “Kant y el problema de la metafísica” (FCE, México (1986), traducción de G. I. Roth). Como se sabe, para Heidegger el valetudinario de Koenigsberg pretende fundar la metafísica, y según se lee en la cita utiliza de inspiración para ello las “ciencias matemáticas de la naturaleza”. De modo que el camarada del partido Nazi afirma que para I. Kant el saber matemático sólo tiene una función ancilar en el proyecto de fundamentar la metafísica. ¿De qué manera se cumple esa tarea asignada? Cuando sirve de modelo en el planteamiento del problema del fundamento de la metaphysica specialis (Dios, el hombre y el cosmos), que sirve de preparativo para atisbar el sentido de la metaphysica generalis (la pregunta por el ser propiamente dicho). Entonces, la matemática tiene un rol subordinado en Kant, y por ahí comenzamos: por el final del libro de Carson, que bien puede leerse como una historia breve de la emancipación de la filosofía del dominio del método matemático, es decir, de la idea de la mathesis generalis.

El tratamiento de Carson es esquemático pues cuenta con apenas 53 páginas, en las que comenta a R. Descartes, J. Locke, G. Leibniz, Ch. Wolf y al final conjunta a I. Kant, J. H. Lambert y M. Mendelssohn. De entre estos filósofos sólo Leibniz, Lambert y Descartes son matemáticos reconocidos por sus aportaciones al conocimiento matemático, sea lo que este sea, propiamente dicho. El resto son filósofos cuya demostración de teoremas puede computarse en cero (aunque Kant demostró algunos en su “Crítica de la razón práctica”). Carson, en el apartado 6.3 expone los pareceres de Kant contenidos en el ensayo de 1761 que presentó a una competición convocada por la Real Academia de Ciencias de Prusia, a la que también respondieron Lambert y Mendelssohn, cuyo tema fue la comparación entre matemáticas y metafísica. Kant, que quedó segundo lugar, asegura en ese ensayo que: “(el geómetra) comienza con lo que es más fácil, y avanza hacia las operaciones más difíciles…(el metafísico) empieza por lo más difícil”. Y aquí introduce Kant un viraje en la terminología de su pasado reciente, pues resume su postura con la afirmación que en geometría los conceptos se introducen por síntesis mientras que en metafísica por análisis.

De hecho, Carson cita una frase muy reveladora de la concepción de Kant de las matemáticas, pues dice: “cualquiera sea el concepto de cono que se utilice de manera común, en matemáticas es el resultado de la arbitraria representación de un triángulo recto que es rotado por uno de sus lados”. Es decir: “el concepto definido no se da antes de la definición misma, sino que adviene como resultado de ese proceder”. Aquí hay una idea de la construcción de conceptos en matemáticas que acepta las operaciones de congruencia en la geometría euclídea. Se pueden encontrar en Euclides varios tipos de demostración que no satisfacen el concepto aristotélico de demostración, pues no ofrecen ningún tipo de causa de lo demostrado. Dos fueron muy controvertidas durante el siglo XVII: la demostración por reducción al absurdo y la demostración por congruencia. Esta última deriva en definiciones del tipo de la que enuncia Kant, pues consisten en introducir el movimiento “virtual” en geometría a través de las operaciones de traslación y rotación. Puede verse el capítulo I de “Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century” (Oxford, 1996) de Paolo Mancosu. Para Kant utilizar de manera conjunta la idea de movimiento y de triángulo es un ejemplo de “síntesis”. El “análisis”, que es la técnica del filósofo, parte de un concepto confuso (e.g. “posibilidad”, “existencia”, “necesidad”, “contingencia”, “Dios”) y lo separa en partes a través de distinciones cada vez más refinadas. Esto constituye definiciones de los conceptos, no demostraciones. Matemática y filosofía son actividades opuestas. La organización del conocimiento matemático es deductiva y procede a partir de unos pocos supuestos indemostrables, pero de inmediato obvios a través de figuras que, sin bien permiten ascender a lo general, no dejan de ser concretas y singulares. Características que los conceptos filosóficos no poseen, además, la filosofía ha de lograr definiciones y conceptos claros. Por ende, nunca pueden coincidir el método filosófico y el matemático. Ahora bien.

Kant ofreció en su “Crítica de la razón pura” una explicación más precisa de su posición y eso lo trata de manera somera Carson. De acuerdo al oriundo de Koenigsberg, las matemáticas son certeras, no requieren de la experiencia, sus resultados valen para todo tiempo y lugar y son “necesarios”. Esto es lo primero en lo que se debe estar de acuerdo para seguir adelante. Entonces, por ser certeras, necesarias y universales no pueden provenir de la experiencia, que es única, singular, contingente e incierta, de modo que han de ser a priori, es decir, “independientes de cualquier experiencia” o, en una terminología cada vez más confusa, “trascendentes a la experiencia”. Pero no se reducen a identidades lógicas, pues sus resultados son originales y no ayunos de novedad, así que han de ser “sintéticas”, no “analíticas”. ¿Cómo entra aquí la idea de constructibilidad de las matemáticas de Kant? De dos maneras, una ya quedó plasmada: la síntesis, la otra es la “intuición”. Todo saber matemático comienza con una intuición de algo mediante una facultad. Así que, si todo lo visual se intuye por los ojos, y lo sonoro por los oídos, lo rugoso por el tacto, entonces la forma de lo espacial por una facultad denominada “intuición espacial pura”. El tiempo a través de una “intuición temporal pura”. El adjetivo “pura” señala que no son intuiciones de nada obtenido por experiencia, sino de algo trascendente a esta. El espacio y el tiempo no son conceptos sino intuiciones que han de estar ya dadas para que tenga lugar la experiencia de lo espacial y temporal. Aquí Kant se adhiere a un punto de vista de las matemáticas ya obsoleto en la segunda mitad de los 1700: identificar el conocimiento matemático con la geometría (el saber intuitivo a priori del espacio) y la aritmética (el saber intuitivo a priori del tiempo). ¿Por qué? pues porque el desarrollo del álgebra y el cálculo infinitesimal cambiaron de manera radical la manera de hacer matemáticas y la expandieron más allá de la geometría y la aritmética. Esa noción de constructibilidad de los conceptos matemáticos, que Kant exhibe mediante ejemplos tomados de la geometría, es el origen de su concepción de una “intuición” especifica de lo espacial mediante las construcciones geométricas, pero se niega a considerar que es esa construcción, la experiencia de hacerla, lo constitutivo de lo espacial, su “giro copernicano” consiste en sostener que la “forma espacial” está dada como condición para poder realizar la construcción de figuras, que son un pobre remedo de la visión intuitiva a priori del triángulo, que en esa trascendentalidad sí es un auténtico triángulo.

A partir de esto llevará adelante su proyecto de una metafísica concebida como “filosofía trascendental”, que será del todo distinta a la matemática. Volvamos a las premisas de partida. ¿Qué es el saber matemático?, ¿de dónde surge? Descartes, al contrario de Kant, no considera que las matemáticas son “trascendentales” en sentido kantiano. Escribió, en la tercera meditación, que: “…el error principal y el más ordinario que se puede cometer con ellos (los juicios) consiste en que juzgo que las ideas que están en mí son semejantes o conformes a cosas que están fuera de mi; porque ciertamente, si yo considerara las ideas sólo como ciertos modos o maneras de mi pensamiento sin querer referirme a alguna otra cosa exterior, apenas podrían darme ocasión de errar” ¿y qué cosas vienen de “fuera” y al margen de la propia voluntad? El calor, el frío, la tormenta, así como un sinnúmero de situaciones muy complicadas, cuya causa es por completo no evidente. Se yerra cuando se pretende explicarlas sin método. Pero Descartes diseñó un procedimiento, un camino, para no errar cuando de esas cosas abigarradas se trata. Tal método no es la matemática conocida de su época, i.e., la geometría y el álgebra, sino otra muy superior aplicable a esos eventos, situaciones, fenómenos complejos cuyas ideas no remiten sólo a un modo de pensar. La nombró “Mathesis universalem” en la regla IV de sus “Reglas para la dirección del ingenio”. Como en el caso de Kant, cualquiera cosa que se adjudique a Descartes está abierta a interpretación cosa que Carson no suele indicar. Pero como ya se dijo: es una introducción somera, una visión extremadamente general. Lisológica antes que morfológica, por usar la inane palabrería del Materialismo Filosófico de Gustavo Bueno.

El método cartesiano consiste de dos partes: el análisis, que es la ascensión hasta los primeros principios, y la síntesis, que es la deducción a partir de los primeros principios. Carson, como una miríada de otros comentaristas (entre los que no están ni Lakatos ni Turbayne) enfatiza que para Descartes sólo hay dos medios de conocimiento, a saber, la pura y simple intuición y la deducción. Por supuesto, se omite una explicación de la regla V. Recordemos, como lo hace Carson, que por “intuición” Descartes no se limita al testimonio de los sentidos o a la caprichosa imaginación sino a “una concepción del puro y atento espíritu, tan fácil y distinta, que no quede en absoluto duda alguna respecto de aquello que entendemos”. Lo ilustra con la “evidencia presente” de un triángulo ante el espíritu. Se observan las tres líneas intersectadas en tres puntos no colineales y no queda duda en absoluto de lo que se concibe. Esto lo concede Kant, pero cuando Descartes añade (en las respuestas a la segundas objeciones) “con respecto a las proposiciones que pertenecen a la metafísica,…,aunque por su naturaleza no sean menos claras, y con frecuencia sean hasta más claras que las que son consideradas por los geómetras” esto ya no lo acepta. Mucho menos aceptará la demostración “geométrica” que de la existencia de Dios establece Descartes de modo explicito bajo el siguiente esquema: definiciones, postulados, axiomas y teoremas. Ahora bien, la regla V enuncia el método, pero al parecer no lo toma en cuenta Carson. Y debe ser tomado en cuenta pues es el auténtico punto en el que diverge con la “tradición” que dicen se origina en él. Lo bueno es que en las respuestas a las segundas objeciones abunda sobre el método: tiene dos partes, el análisis, que es el auténtico “tesoro” que la antigüedad no legó, y la síntesis, cuya frivolidad ha de enfatizar una y otra vez. Por análisis se logra construir el teorema y, en la mathesis, los primeros principios. Y, contrario a la opinión de una escuela de interpretación de Descartes, que sería largo enumerar pero que es tan abundante que basta remitir a cualquier facultad de filosofía de hispanoamérica para encontrar a sus voceros, no existe una separación entre la mathesis y la metafísica. La matemática no es cosa solo de la mente, sino del mundo mismo, como lo es Dios, y tiene alcance ontológico, pues puede penetrar hasta los primeros principios. ¿Cómo se unen matemática y metafísica en Descartes? Que él mismo lo diga:

“Que un ateo pueda conocer claramente que los tres angulos de un triángulo son iguales a dos rectos, yo no lo niego, pero sostengo únicamente que no lo conoce con una ciencia verdadera y cierta, porque todo conocimiento que pueda ser puesto en duda o debe llamarse ciencia; y como se supone que es tal es un ateo, no puede estar cierto de no ser engañado en las cosas que le parecen ser muy evidentes”.